Tanto o espaço euclideano como o espaço-tempo da relatividade restrita são espaços planos. Ao procurar compatibilizar a interacção gravitacional com as ideias da relatividade restrita, onde sobressai a noção da velocidade da luz como velocidade limite para a transmissão das acções físicas, Einstein é levado, ao fim de uma luta intelectual intensa, a renunciar ao espaço-tempo plano. Na presença de um campo gravítico é necessário incluir todos os tipos de movimentos relativos e não só os movimentos uniformes. Será possível generalizar o Postulado de modo a aplicá-lo a todos os observadores de um campo gravítico? Vejamos, numa linguagem simples, quais as considerações que orientaram o pensamento de Einstein. Começo pelo carácter universal da gravitação. A interacção gravitacional tem uma natureza única entre todas as forças: todos os corpos caem ao longo da mesma trajectória espacial independentemente da sua massa e da sua constituição. Este facto sugere que a gravidade não é realmente uma força mas uma propriedade geométrica do espaço ou, no contexto da relatividade, do espaço-tempo. Neste ponto surge a ideia revolucionária de Einstein: os observadores em queda livre num campo gravítico identificam-se com os observadores inerciais da relatividade restrita no que diz respeito às suas observações locais (Princípio da Equivalência). Mas, ao contrário da relatividade restrita, dois observadores em queda livre não mantêm uma velocidade uniforme entre si devido aos efeitos não locais do campo gravítico. Realmente, dois corpos em queda livre à superfície da Terra não descrevem trajectórias exactamente paralelas pois, sendo o campo central, as trajectórias convergem para o centro de massa, embora, a uma escala local, as trajectórias sejam quase paralelas . Para justificar estas diferenças face à relatividade restrita, Einstein identifica a gravidade com uma modificação em relação à geometria euclideana: a gravitação produz uma curvatura do espaço-tempo. As linhas do Universo dos observadores em queda livre serão as geodésicas deste espaço-tempo curvo. Claro que agora as geodésicas já não são linhas rectas, como no espaço plano, mas sim as linhas "mais direitas" que o espaço-tempo curvo admite.
Mas o que é a curvatura do espaço? E como se determina essa curvatura? Todos os que imaginam o espaço como um vazio de coisas materiais, o que resta quando abstraímos os objectos e os seres presentes, ficam perplexos com a noção de um espaço curvo. Para a maioria das pessoas, o espaço destina-se a ser ocupado pelos corpos nos seus movimentos relativos, o espaço é o palco onde se desenrolam os diferentes acontecimentos. Para o matemático, um espaço é uma colecção de ``pontos", cuja natureza pode variar consoante as aplicações matemáticas e/ou físicas. Assim, o espaço vazio pode ser entendido como um espaço sem matéria, mas não como um espaço sem propriedades definidas entre os seus elementos (pontos). Por exemplo, os pontos do espaço-tempo da teoria da relatividade são acontecimentos físicos, isto é, algo que ocorreu num certo local e num certo instante. Vimos já que o conjunto de todos os acontecimentos físicos forma um espaço contínuo a quatro dimensões. Na ausência de campos gravíticos, ou seja, quando estamos suficientemente afastados das distribuições de matéria e energia, este contínuo é o espaço-tempo da relatividade restrita. Neste espaço-tempo os sistemas de coordenadas inerciais são análogos aos sistemas cartesianos de coordenadas rectilíneas da geometria euclideana. Tomando só duas dimensões, é possível representar estes sistemas de coordenadas num plano (numa folha de papel, por exemplo). Mas já não é tão fácil usar um sistema de coordenadas rectilíneas numa superfície esférica. Sobre a folha de papel posso traçar um reticulado de segmentos de recta perpendiculares entre si e, com estas coordenadas, posso determinar a posição de qualquer ponto do papel (bastando um único sistema de coordenadas para determinar todos os pontos do papel). Envolvendo a esfera com a folha de papel, verifico que não é possível ajustar o papel à esfera sem dobrá-lo. Deste modo, sou obrigado a sobrepor diferentes porções do reticulado com as mesmas porções da esfera. Nestas condições, não é possível estabelecer uma correspondência unívoca entre os pontos da esfera e os pontos do papel. É necessário que o papel tenha uma área maior do que a área da esfera para que seja possível envolvê-la completamente com a folha de papel. Em contrapartida, no caso de um cilindro não existe qualquer dificuldade em envolvê-lo com uma única folha de papel, e sem necessidade de a dobrar. Existe, portanto, uma correspondência (aplicação) bem definida entre os pontos do papel e os pontos da superfície do cilindro. A folha de papel e o cilindro são espaços (bi-dimensionais) intrinsecamente planos e a esfera é um espaço (bi-dimensional) intrinsecamente curvo . Como estender esta noção de curvatura a espaços com mais dimensões sem os "mergulhar" em espaços planos de dimensão superior? Para isso teremos de olhar para as suas características intrínsecas.
